Istorijski razvitak algebarske simbolike
Matematički simboli znače kristalizaciju odnosa među brojevima i među figurama, znače gotovo cele procese; oni sadrže sažeto matematičke pojmove. Misaoni matematički procesi izražavaju savršenost logičkog mišljenja i nalaze u simbolima svoje skraćeno označavanje. Simboli su, u stvari, u sebi združili i samu suštinu i sam proces, samu operaciju. To je baš odlika matematičkih simbola u poređenju sa simbolima drugih nauka. Poznato je da su se kroz vekove matematički pojmovi razvijali i usavršavali. Isti je slučaj bio i sa simbolima. Simboli u početku stvaranja nisu imali svoj vlastiti smisao, već su im smisao tokom vremena davali ljudi, tj. oni su im tako reći udahnjivali život. Matematički simboli razlikuju se od ostalih time što su internacionalni, oni kod svih naroda imaju isti sadržaj. Simbolika je naročito u algebri došla do savršenog izražaja. Ako pregledamo u najkraćim potezima istorijski razvitak algebarskog načina izražavanja, tada moramo razlikovati tri perioda, odnosno tri stupnja razvoja, prema kojima je algebra dobila svoje ime: to su retorska, sinkopirana i simbolička algebra.
U prvom periodu, retorskom, vladalo je usmeno izražavanje bez upotrebe specijalnih simbola. Na ovom stepenu razvitka nalazili su se Grci sve do I veka n. e., Arabljani, pa čak i neki istaknuti matematičari srednjeg veka, kao Leonardo iz Pize i Jordanus Nenararius iz XIII veka, i Regiomontanus iz XIV veka. Arabljani su čak i pojedine brojeve zamenjivali rečima.
Vrlo važan momenat u daljem razvoju algebarske simbolike predstavlja Aritmetika, delo grčkog matematičara Diofanta iz Aleksandrije krajem III veka n. e. Ovo delo, u stvari, znači početak tzv. sinkopirane algebre, tj. algebre u kojoj su pojedini pojmovi i operacije označavani izvesnim skraćenicama; ono predstavlja prelaz iz prvog perioda u drugi. Tu Diofant već primenjuje specijalne skraćenice za označavanje nepoznate veličine, kao i za razlomak, stepen itd. Posle Diofanta nije bilo nikoga ko bi nastavio njegova nastojanja, tj. započeti posao. Arabljani, na primer, koji su u istoriji matematike igrali važnu ulogu, ostaju još uvek pri retorskoj algebri, a na njih se ugledaju matematičari srednjeg veka.
Tek u XV veku javljaju se pokušaji da se nastavi ono što je još vrlo davno Diofant otpočeo. Ponovo se uvode skraćenice. U tom veku započela je današnja forma simbolike, a tada se javlja i jedan nov princip simboličke algebre, koji čini osnovu trećeg perioda, tj. javljaju se simbolički znaci. Naročite zasluge za uvođenje savremene algebarske simbolike ima francuski matematičar Fransoa Vijet (1540 – 1603), koji je pored ostalog i u jednačine umesto brojnih koeficijenata uveo slova – opšte brojeve, koja su onda omogućavala sažimanje opštih izvođenja. Međutim, sve do XVII veka oseća se uticaj ranije teškog načina izražavanja starijih matematičara, i tek delima engleskog matematičara Hariota (1560 – 1620), zatim Dekarta, Lajbnica, Njutna i Ojlera, stvorena je algebra koja omogućuje da se matematička misao može prenositi bez upotrebe reči; dakle stvorena je konačno internacionalna simbolička algebra.
I znak korena je vrlo starog porekla. Zna se sigurno da su Arabljani već upotrebljavali jedan specijalni znak za koren. Krajem XV veka francuski matematičar Šike, kao i Italijan Luka Pačioli primenjuje slovo R kao oznaku za koren, a izložilac korena se označavao na razne načine. Današni znak za koren nije nastao, kao što se to obično misli, deformacijom slova r (radix = koren). U Nemačkoj se prvo za oznaku kvadratnog korena upotrebljavala jedna tačka ispred broja, a dve tačke za oznaku četvrtog korena (Drezdenska latinska algebra 1480). Posle se na ovu tačku nadovezuje kosa crtica tako da nastaje znak ü iz koga se postepeno razvio današnji znak za koren.
Današnji simbol potiče od matematičara XVI veka A. Rizea i naročito K. Rudolfa (1525).
2. Algebarske operacije

a) Sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje. Osnovne algebarske operacije su se razvile neposredno iz rešavanja jednačina, i to u prvo vreme samo sabiranje, oduzimanje i množenje, dok se deljenje javlja tek u XVI veku, kada su rešavane i jednačine višeg stepena.
Diofant je bio prvi matematičar koji je vršio algebarske operacije. On je znao da sabira i oduzima pozitivne i negativne brojeve, a poznavao je i pravilo za množenje negativnih brojeva, koje je formulisao skoro isto onako kao što mi danas činimo. Njemu suština pojma negativnog broja nije bila jasna.
Pošto se ne zna da li se neko pre Diofanta bavio algebarskim operacijama, veruje se da se njegova algebra razvila iz geometrijske metode, koju su Stari Grci primenjivali pri rešavanju problema iz teorije brojeva.
Jedan veći deo Diofantove algebre preuzeli su Indusi, a od njih preuzimaju Arabljani i tek preko ovih dolazi na zapad. Prvi počeci algebarskih operacija u srednjem veku javljaju se kod Leonarda iz Pize. U daljem razvoju algebarskih operacija imali su vidan uticaj nemački matematičari iz XVI veka, tzv. “kosisti”. Ali glavna zasluga pripada Vijetu, koji je uveo pojam opšteg broja.
Uvođenjem pojma opšteg broja, osnovne operacije naglo se razvijaju. Ali sve do XIX veka veliku teškoću predstavljao je problem množenja relativnih brojeva.
Algebarskom operacijom deljenja prvi se bavio Luka Pačioli, koji je dao i poznato pravilo za deljenje monoma.
Deljenje polinoma polinomom u današnjem smislu počinje sa S. Stevinom. Istim pitanjem bavio se kasnije i Lajbnic, ali ga je tek Njutn doveo do današnjeg stanja.

b) Stepenovanje i korenovanje. Pojam stepena bio je poznat još Starim Egipćanima i Vaviloncima. Oni su poznavali samo pojam kvadrata i kuba datog broja. Stepen je ponikao iz čisto geometrijskog problema izračunavanja površina i zapremina.
Ne zna se tačno kad je uveden u nauku i stepen čiji je izložilac 3, ali se zna da su takve stepene već primenjivali Heron i Diofant. Oni su za svaki stepen imali poseban naziv. Tako se nazivao “dinamis”, tj. moć, koju reč je Bambeli (1572) kasnije preveo sa “potentia”. Ovaj naziv se zadržao sve do danas, ali za stepene sa proizvoljnim izložiocem, pošto je ranije Diofant upotrebljavao samo stepene sa izložiocima koji nisu veći od 6.
Reč “eksponent” prvi je uveo M. Štifel (1544). Valis (1657) prvi uvodi opšti broj kao izložilac stepena, ali tek ga Njutn (1687) konzekventno sprovodi u svom delu: Philosophiae naturalis principiamathematica. U ovom delu računa i sa stepenima čiji su izložioci celi negativni brojevi. On je dao i pravilno tumačenje stepena sa razlomljenim izložiocem.
Današnju oznaku stepena prvi je uveo veliki francuski matematilar i filozof Dekart.
Same operacije sa korenima, mada u primitivnom obliku, nalazimo već kod Leonarda iz Pize, ali velike zasluge za dobijanje ovih operacija do današnjeg stepena imaju nemački “kosisti” A. Rize, M. Štifel i K. Rudolf.

3. Jednačine

Ne zna se tačno kada su ljudi počeli da se bave jednačinama. U rukopisima starih Egipćana i Vavilonaca nalazimo već jedan viši stepen u razvoju algebarskih jednačina.
Tako se iz Ahmesove računice (1700. god. pre n. e.), najstarijeg matematičkog rukopisa, koji je poznat i pod imenom Papirus Rind prema engleskom naučniku Rindu koji ga je otkrio, vidi da je Starim Egipćanima bio već dobro poznat pojam nepoznate veličine, za koju su imali i poseban znak i poseban naziv.
Još su Vavilonci osetili potrebu za rešavanje linearnih jednačina pri rešavanju nekih zadataka o podeli površine. Njihovo iskustvo primili su Egipćani.
Iz Ahmesove računice vidi se da Egipćani nisu znali za jedan opšpti postupak pri rešavanju jednačina; oni su za svaku jednačinu imali specijalni postupak.
Grci su upotrebljavali čisto geometrijski metod pri rešavanju jednačina. Oni se uglavnom, služe proporcijom, pošto nju mogu geometrijski da reše.
Nisu sačuvani spomenici matematičke literature od početka naše ere do III veka. Grčka algebra dostigla je procvat u Diofantovom delu Aritmetika, u kojem je Diofant učinio veliki napredak u čisto algebarskom rešavanju jednačina. U tom delu nalazimo i rešavanje jedne jednačine prvog stepena sa više nepoznatih, koja se sada naziva Diofantovom (neodređenom) jednačinom.
Indusi su primili osnovne pojmove o linearnim jednačinama verovatno od Grka. Oni su poznavali i osobine negativnih brojeva.
I Arabljani su se upoznali preko algebre Indusa sa delima Grčkih matematičara: oni su dali opšta pravila za rešavanje jednačina prvog stepena i počeli su da upotrebljavaju negativne i iracionalne brojeve, mada sa izvesnom opreznošću.
I sistemi linearnih jednačina sa više nepoznatih javljaju se u rukopisima Starih Egipćana. Sisteme jednačina, u današnjem značenju, prvi put nalazimo kod Diofanta, koji navodi izvestan broj problema za jednačine prvog stepena sa jednom i više nepoznatih. Diofant klasifikuje jednačine prema broju članiva, a ne prema stepenu. On obično veštim načinom svodi zadatke na rešavanje jednačina sa jednom nepoznatom.
O sistemima jednačina kod Indusa imamo vrlo malo pouzdanih podataka, ali iz dela arabljanskih matematičara vidi se da su oni u tome pravcu prilično daleko odmakli. O rešavanju sistema linearnih jednačina i kod matematičara Zapada imamo takođe veoma malo podataka, i to sve do kraja XV veka. Tek je italijanski matematičar Kardano (1539. god.) pokrenuo ovo pitanje.
I radovi M.Štifela i K. Rudolfa doprineli su mnogo daljem razvoju metoda rešavanja. Međutim, sadašnji metod jednakih koeficijenata, kao i metod supstitucije uvode tek Lajbnic i Njutn.
Kvadratne jednačine bile su poznate Grcima. Oni su jednačine rešavali geometrijski.
Kvadratne jednačine u brojevima rešavao je Heron iz Aleksandrije (I vek n.e.).
U algebarskom rešavanju kvadratnih jednačina Diofant je prilično odmakao. U njegovoj Aritmetici nalazimo priličan broj rešenih primera kvadratnih jednačina, kao i izvestan broj problema drugog stepena.
Arabljani su već u IX veku nove ere dali opšta pravila za rešavanje jednačine drugog stepena.
Francuski matematičar Vijet svojim poznatim zakonom o odnosu korena i koeficijenata omogućio je jednu dublju analizu rešenja kvadratne jednačine.
Što se tiče načina pisanja kvadratne jednačine u XVI i XVII veku, on se sve više usavršava, ali trebalo je da prođe još punih 100 godina da bi se došlo do savršene algebarske simbolike.
Jednačina trećeg stepena dugo je smatrana neprebrodivom teškoćom. Metod za rešavanje jednačine trećeg i četvrtog stepena dali su italijanski matematičari XVI veka: Fero, Kardano, Tartalja i Ferari.